Question

如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，与∠AOB的平分线交于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线；
（2）若∠AOB=60°，求OF：FE的值．

Answer 1

分析：（1）根据垂直平分线的性质定理证明．
（2）通过解特殊角三角函数计算．

解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，
∴DE=CE．
在Rt△EDO与Rt△ECO中，
DE=CE，OE为公共边，∠DOE=∠COF，
∴OD=OC．
∵OF为角平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．

（2）设OD=a，∠AOB=60°，
∴∠DOE=30°，∠ODF=60°，DF=

1

2

OD=

a

2

．
OF=

3 a

2

．
∵∠ODE=90°，∠ODF=60°，
∴∠EDF=30°．
在Rt△DEF中，
tan30°=

EF

DF

=

EF

a 2

=

3

3

，EF=

3 a

6

．
∴OF：FE=

3 a

2

：

3 a

6

=3：1．

点评：考查了特殊角的三角函数值和角平分线的性质．