Question

如图1，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC=AD=4cm．∠ABC=60°．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）过B作直线EF⊥BC于B（如图2），直线EF右点B开始，沿射线BC向右以1cm/s的速度运动，在运动过程中，始终保持EF⊥BC，设运动时间为t秒，梯形ABCD在直线EF左侧部分的面积为Scm²，求S与t的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，得出四边形AEFD是矩形，推出AD=EF，AE=DF，求出BE，AE，根据梯形面积公式求出即可．
（2）分为四种情况：：①当0≤t≤2时，②当2＜t≤6时，③当6＜t＜8时，④当t≥8时，根据梯形和三角形面积求出即可．

解答：解：（1）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
则AE∥DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF，AE=DF，
∵AB=DC，
∴在Rt△AEB和Rt△DFC中，由勾股定理得：BE=FC，
∵∠B=60°，
∴∠BAE=30°
∴BE=

1

2

AB=

1

2

×4cm=2cm，由勾股定理得：AE=2

3

cm，
∴CF=2cm，
∴BC=2+4+2=8（cm），
∴梯形ABCD的面积是

1

2

（AD+BC）×AE=

1

2

×（4cm+8cm）×2

3

cm=12

3

cm²．

（2）分为四种情况：
①当0≤t≤2时，如图2，BM=t
∵∠NMB=90°，∠B=60°，
∴MN=

3

t，
S=

1

2

•t•

3

t=

3

2

t²，
即S=

3

2

t²，自变量t的范围是0≤t≤2；
②当2＜t≤6时，如图3，BM=t，
由（1）知：AN=t-2，MN=2

3

，
则S=

1

2

×（AN+BM）×MN
=

1

2

•（t-2+t）•2

3

，
即S=2

3

t-2

3

，自变量t的范围是2＜t≤6；
③当6＜t＜8时，如图4，CM=8-t
∵四边形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴∠C=∠B=60°，
∴MN=

3

CM=（8-t）

3

，
S=S_梯形ABCD-S_△CMN=12

3

-

1

2

（8-t）•

3

（8-t），
即S=-

3

2

t²+8

3

t-20

3

，自变量t的范围是6＜t＜8；
④当t≥8时，S=S_梯形ABCD=12

3

，
即S=12

3

，自变量t的范围是t≥8．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，三角形的面积的应用，题目综合性比较强，用了分类讨论思想．