题目内容
【题目】已知点D为
内部（包括边界但非A、B、C）上的一点．
（1）若点D在边AC上，如图①，求证：AB + AC> BD + DC
（2）若点D在内，如图②，求证：AB + AC> BD + DC
（3）若点D在内，连结DA、DB、DC，如图③求证：
(AB + BC + AC) < DA + DB + DC < AB + BC + AC
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）根据三角形的三边关系和不等式的基本性质即可得出结论；
（2）延长BD交AC于E，根据三角形的三边关系和不等式的基本性质即可得出结论；
（3）根据三角形的三边关系和不等式的基本性质即可得出结论．
解：（1）∵ AB + AD>BD
∴ AB + AD +DC > BD +DC
∴ AB + AC>BD +DC
（2）延长BD交AC于E
∵ AB + AE > BD + DE①
DE +EC >DC ②
∴由①+②，得AB + AE+ DE +EC＞BD + DE+ DC
整理，得AB+AC>BD+DC
（3）∵ AD+BD>AB ①
BD+DC>BC ②
AD+DC>AC③
∴ 把① + ② +③ 得 AD+BD+BD+DC+ AD+DC＞AB＋BC＋AC
整理，得 AD+DB+DC>
(AB+BC+AC)
又∵ 由上面（2）式得到：
DB+DA<AC+BC ①
DB+DC<AB+AC ②
DA+DC<AB+BC③
∴ 把① + ② +③ 得DB+DA+ DB+DC+ DA+DC＜AC+BC+ AB+AC+ AB+BC
整理得 DA+DB+DC<AB+BC+AC
∴(AB + BC + AC) < DA + DB + DC < AB + BC + AC
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