Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，过点A的切线与CB的延长线交于点E．
（1）求证：EA²=EB•EC；
（2）若EA=AC，cos∠EAB=

4

5

，AE=12，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）由弦切角定理，可得∠EAB=∠C，继而可证得△BAE∽△ACE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得EA²=EB•EC；
（2）首先连接BD，过点B作BH⊥AE于点H，易证得∠E=∠C=∠D=∠EAB，然后由三角函数的性质，求得直径AD的长，继而求得⊙O的半径．

解答：（1）证明：∵AE是切线，
∴∠EAB=∠C，
∵∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE，
∴EA：EC=EB：EA，
∴EA²=EB•EC；

（2）解：连接BD，过点B作BH⊥AE于点H，
∵EA=AC，
∴∠E=∠C，
∵∠EAB=∠C，
∴∠EAB=∠E，
∴AB=EB，
∴AH=EH=

1

2

AE=

1

2

×12=6，
∵cos∠EAB=

4

5

，
∴cos∠E=

4

5

，
∴在Rt△BEH中，BE=

EH

cos∠E

=

15

2

，
∴AB=

15

2

，
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C，
∴cos∠D=

4

5

，
∴sin∠D=

3

5

，
∴AD=

AB

sin∠D

=

25

2

，
∴⊙O的半径为

25

4

．

点评：此题考查了切线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．