Question

（2011•德阳）如图，AB是⊙0的直径，AC切⊙0于点A，AD是⊙0的弦，OC⊥AD于F交⊙0于E，连接DE，BE，BD．AE．
（1）求证：∠C=∠BED；
（2）如果AB=10，tan∠BAD=

3

4

，求AC的长；
（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．

Answer 1

分析：（1）根据切线性质、垂直的性质、直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠C+∠AOC=∠AOC+∠BAD=90°，即∠C=∠BAD；然后由圆周角定理推知∠BED=∠BAD；最后由等量代换证得∠C=∠BED；
（2）根据锐角三角函数的定义求AC的长；
（3）根据已知条件推知AE=BD=DE，然后由圆的弧、弦、圆心角间的关系知

AE

=

BD

=

DE

，从而求得∠BAD=30°；然后由直径AB所对的圆周角∠ADB=90°可以求得直角三角形ABD中30°所对的直角边是斜边的一半BD=

1

2

AB=5，DE=5；最后（过点D作DH⊥AB于H）在直角三角形HDA中求得高线DH的长度，从而求得梯形ABDE的面积．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，
∴∠C+∠AOC=90°；
又∵0C⊥AD，
∴∠OFA=90°，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD．
又∵∠BED=∠BAD，
∴∠C=∠BED．

（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=

3

4

，
∴tan∠C=

3

4

．
在Rt△OAC中，tan∠C=

OA

AC

，且OA=

1

2

AB=5，
∴

5

AC

=

3

4

，解得AC=

20

3

．

（3）解：∵OC⊥AD，∴

AE

=

ED

，∴AE=ED，
又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴

AE

=

BD

，
∴AE=BD，
∴AE=BD=DE，
∴

AE

=

BD

=

DE

，
∴∠BAD=30°，
又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∴BD=

1

2

AB=5，DE=5，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=5

3

，
过点D作DH⊥AB于H，
∵∠HAD=30°，∴DH=

1

2

AD=

5 3

2

，
∴四边形AEDB的面积=

1

2

(DE+AB)•DH=

1

2

×(5+10)×

5 3

2

=

75 3

4

．

点评：本题考查了圆周角定理、勾股定理、平行线的性质以及锐角三角函数的定义．解题时，注意知识的综合利用．