Question

如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是

MN

上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．
（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；
（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；
（3）连接PQ，试说明3PQ²+OA²是定值．

Answer 1

分析：（1）由BA⊥OM，BC⊥ON，∠AOC=90°，可判定四边形OABC是矩形，即可得AB∥OC，AB=OC，又由E、G分别是AB、CO的中点，即可得四边形AECG为平行四边形，连接OB，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，根据三角形中位线的性质，即可得PG∥EQ，即可判定四边形EPGQ是平行四边形；
（2）由当∠CED=90°时，?EPGQ是矩形，易得△AED∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得OA的长；
（3）连接GE交PQ于O′，易得O′P=O′Q，O′G=0′E，然后过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′，由△PCF∽△PEG，根据相似三角形的对应边成比例与勾股定理，即可求得3PQ²+OA²的值．

解答：解：（1）证明：连接OB，如图①，
∵BA⊥OM，BC⊥ON，
∴∠BAO=∠BCO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴四边形OABC是矩形．
∴AB∥OC，AB=OC，
∵E、G分别是AB、CO的中点，
∴AE∥GC，AE=GC，
∴四边形AECG为平行四边形．
∴CE∥AG，
∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，
∴GF∥OB，DE∥OB，
∴PG∥EQ，
∴四边形EPGQ是平行四边形；

（2）如图②，当∠CED=90°时，?EPGQ是矩形．
此时∠AED+∠CEB=90°．
又∵∠DAE=∠EBC=90°，
∴∠AED=∠BCE．
∴△AED∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AE

BC

．
设OA=x，AB=y，则

x

2

：

y

2

=

y

2

：x，
得y²=2x²，
又 OA²+AB²=OB²，
即x²+y²=1²．
∴x²+2x²=1，
解得：x=

3

3

．
当OA的长为

3

3

时，四边形EPGQ是矩形；

（3）如图③，连接GE交PQ于O′，
∵四边形EPGQ是平行四边形，
∴O′P=O′Q，O′G=0′E．
过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点B′、A′．
由△PCF∽△PEG得，

PG

PF

=

PE

PC

=

GE

FC

=

2

1

，
∴PA′=

2

3

A′B′=

1

3

AB，GA′=

1

3

GE=

1

3

OA，
∴A′O′=

1

2

GE-GA′=

1

6

OA．
在Rt△PA′O′中，PO′²=PA′²+A′O′²，
即 

PQ2

4

=

AB2

9

+

OA2

36

，
又 AB²+OA²=1，
∴3PQ²=AB²+

1

3

，
∴OA²+3PQ²=OA²+（AB²+

1

3

）=

4

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意准确作出辅助线，注意数形结合思想与方程思想的应用．