题目内容
【题目】如图，直线y＝﹣2x+6与x轴，y轴分别交A，B两点，点A关于原点O的对称点是点C，动点E从A出发以每秒1个单位的速度运动到点C，点D在线段OB上满足tan∠DEO＝2，过E点作EF⊥AB于点F，点A关于点F的对称点为点G，以DG为直径作⊙M，设点E运动的时间为t秒；
（1）当点E在线段OA上运动，t＝ 时，△AEF与△EDO的相似比为1：
；
（2）当⊙M与y轴相切时，求t的值；
（3）若直线EG与⊙M交于点N，是否存在t使NG＝
，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）t＝
或5；（3）存在，t＝
或
或
．
【解析】
（1）先求直线与坐标轴的交点坐标，再证△AEF∽△EDO∽△ABO，由△AEF与△EDO的相似比为1：
，即可求得t的值；
（2）由⊙M与y轴相切可知：DG⊥y轴，分两种情况：0≤t≤3或3＜t≤6，分别由D、G的纵坐标相等建立方程求解即可；
（3）分三种情况：0≤t≤或＜t≤3或3＜t≤6，分别建立方程求解即可．
解：（1）在y＝﹣2x+6中，令x＝0，得：y＝6，
令y＝0，得：﹣2x+6＝0，
解得：x＝3，
∴A（3，0），B（0，6），C（﹣3，0）
∴OA＝3，OB＝6，AB＝3，AE＝t，OE＝3﹣t，
∴tan∠BAO＝
＝2
∵tan∠DEO＝2
∴∠BAO＝∠DEO
∵EF⊥AB
∴∠AFE＝∠DOE＝90°
∴△AEF∽△EDO∽△ABO
，即
∴AF＝
t；
∵△AEF与△EDO的相似比为1：，
∴
，即OE＝AF
∴3﹣t＝×t，
解得：t＝；
故答案为：t＝；
（2）∵⊙M与y轴相切
∴DG⊥y轴
当0≤t≤3时，
∵tan∠DEO＝2
∴
∴
∵
，△AEF∽△ABO
∴
∴
∵点A、G关于点F对称
∴
∴
将
代入
中，得，
解得
，
∴G（3﹣
t，
t），D（0，6﹣2t），
∴t＝6﹣2t，解得：t＝；
当3＜t≤6时，同理得G（3﹣t，t），D（0，2t﹣6），
∴t＝2t﹣6，解得：t＝5，
综上所述，当⊙M与y轴相切时，t＝或5；
（3）存在．
当0≤t≤时，G（3﹣t，t），D（0，6﹣2t），
∵点A关于点F的对称点为点G，EF⊥AB
∴EG＝EA＝t
∵∠OEG＝∠OAB+∠EGA＝2∠OAB，∠OED＝∠OAB
∴∠GED＝∠OED＝∠OAB
∵DG为直径
∴∠DNG＝∠DNE＝∠DOE＝90°，DE＝DE
∴△DEN≌△DEO（AAS）
∴EN＝OE＝3﹣t，NG＝EN﹣EG＝3﹣t﹣t＝3﹣2t，
∴3﹣2t＝
，
解得：t＝，
当＜t≤3时，NG＝EG﹣EN＝t﹣（3﹣t）＝2t﹣3
∴2t﹣3＝，
解得：t＝；
当3＜t≤6时，如图2，连接DN，过G作GH⊥x轴于H，
∵DG是直径，
∴∠DNG＝∠DNE＝90°，
∵∠DMN＝∠EMO
∴△DMN∽△EMO
∴∠MDN＝∠OEM
∵GH∥y轴
∴
，即
，
由（2）得
，
∵
轴，
∴
，
，
∴
，
∴DM＝OD﹣OM＝2（t﹣3）﹣
（t﹣3）＝
（t﹣3）
∵tan∠OEM＝
∴EM＝
OE＝（t﹣3），
∴sin∠OEM＝
＝＝sin∠MDN＝
∴MN＝×（t﹣3）＝
（t﹣3）
∴NG＝EG﹣EM﹣MN＝t﹣（t﹣3）﹣（t﹣3）＝
﹣
t，
∴
，
解得：t＝；
综上所述，t＝或或．
