Question

如图(1)～(3)，已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB＝α(0°＜α＜180°)，∠CPD＝β．

(1)如图(1)，当α＝β＝90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系(不用说明理由)；

(2)如图(2)，当α＝60°，β＝120°时，(1)中的两个猜想还成立吗？请说明理由．

(3)如图(3)，当α＋β＝180°时，①你认为(1)中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

②若＝2，求的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)PC＝PD，∠PDC＝∠AOB． 　　(2)成立．理由如下：(3分) 　　作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如图． 　　∵OP平分∠AOB， 　　∴PE＝PF． 　　在四边形EOFP中， 　　∵∠AOB＝60°，∠PEO＝∠PFO＝90°， 　　∴∠EPF＝120°，即∠EPC＋∠CPF＝120°． 　　又∠CPD＝120°，即∠DPF＋∠CPF＝120°． 　　∴∠EPC＝∠DPF． 　　∴△EPC≌△FPD． 　　∴PC＝PD．(7分) 　　∴∠PDC＝＝30°． 　　∵∠AOB＝60°， 　　∴∠PDC＝∠AOB．(8分) 　　(3)①成立． 　　②∵∠PDC＝∠AOB， 　　∠POD＝∠AOB， 　　∴∠PDC＝∠POD． 　　又∠DPG＝∠DPO， 　　∴△PGD∽△PDO． 　　∴＝． 　　又＝2， 　　∴＝．(12分)