Question

如图，AB为⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，若弦MN的两端在圆周上滑动时，始终与AB相交．设A，B到MN的距离为h₁，h₂．则|h₁-h₂|=

 

．

Answer 1

分析：设AB、NM交于H，做OD⊥MN于D，连接OM，利用垂径定理及勾股定理可求出OD，再推△AFH∽△ODH∽△BEH，然后就可利用OH表示BE、AF，从而可求出答案．

解答：解：设AB、NM交于H，做OD⊥MN于D，连接OM，
∵AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8，
∴DN=DM=4，OD=3，
∵BE⊥MN，AF⊥MN，OD⊥MN，
∴BE∥OD∥AF，
∴△AFH∽△ODH∽△BEH，
∴

AF

OD

=

AH

OH

=

5-OH

OH

，
即

AF

3

=

5-OH

OH

，

BE

OD

=

HB

OH

=

5+OH

OH

，
即

BE

3

=

5+OH

OH

，
∴

1

3

（AF-BE）=-2，
∴|h₁-h₂|=|AF-BE|=6．
故答案为6．

点评：本题考查了垂径定理，解答本题需仔细分析图形，利用垂径定理和相似三角形的性质即可解决问题．对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．