Question

如图，已知．

（1）请你在边上分别取两点（的中点除外），连结，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明．

Answer 1

解：（1）如图1，；

（2）证法一：如图2，分别过点D，B作CA，EA的平行线，两线交于F点，DF与AB交于G点。

所以，。

在和中，又CE=BD，

可证。

所以AC=FD，AE=FB。

在中，AG+DG>AD，

在中，BG+FG>FB，

所以AG+DG-AD>0，BG+FG-FB>0。

所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0。

即AB+FD>AD+FB。

所以AB+AC>AD+AE。

证法二：如图3，分别过点A，E作CB，CA，的平行线，两线交于F点，EF与AB交于G点，连结BF。

则四边形EFCA是平行四边形。

所以FE=AC，AF=CE。

因为BD=CE，

所以BD=AF。

所以四边形是平行四边形。

所以FB=AD。

在中，AG+EG>AE，

在中，BG+FG>FB，

可推得AG+EG+BG+FG>AE+FB。

所以AB+AC>AD+AE。

证法三：如图4，取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF。

在和中，又，DO=EO。

可证。

所以AD=FE。

因为BD=CE，DO=EO，

所以BO=CO。

同理可证。

所以AB=FC。

延长AE交CF于G点。

在中，AC+CG>AE+EG，

在中，EG+FG>EF。

可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF。

即AC+CF>AE+EF。

所以AB+AC>AD+AE。