Question

如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．

（1）求∠PAQ的度数；
（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．
①若∠BAC=130°，则∠PAQ=______°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为______；
②当∠BAC=______°时，能使得PA⊥AQ；
③若BC=10cm，则△PAQ的周长为______cm．

Answer 1

解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，
∴∠BAP+∠CAQ=50°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=130°-50°=80°；

（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=50°，
∴∠BAP+∠CAQ=50°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=130°-50°=80°；

∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=α，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠BAP+∠CAQ=180°-α，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=α-（180°-α）=2α-180°；

②当∠PAQ=90°，
即2α-180°=90°时，PA⊥AQ，
解得：α=135°，
∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；

③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∵BC=10cm，
即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，
∴△PAQ的周长为10cm．
故答案为：①80，2α-180°；②135；③10．
分析：（1）由边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，根据线段垂直平分线的性质，即可得AP=BP，AQ=CQ，然后根据等边对等角的性质，求得∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，又由三角形内角和定理，即可求得∠BAP+∠CAQ的度数，继而求得∠PAQ的度数；
（2）①由边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，根据线段垂直平分线的性质，即可得AP=BP，AQ=CQ，然后根据等边对等角的性质，求得∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，又由三角形内角和定理，即可求得∠BAP+∠CAQ的度数，继而求得∠PAQ的度数；
②根据①中的结论，可得方程2α-180°=90°，继而求得∠BAC的度数；
③由边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，根据线段垂直平分线的性质，即可得AP=BP，AQ=CQ，然后利用等量代换的知识，即可求得△PAQ的周长．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、垂直的定义以及等腰三角形的性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与整体思想的应用，注意等量代换知识的应用．