Question

【题目】已知：二次函数y=x2-2mx-m2＋4m-2的对称轴为l，抛物线与y轴交于点C，顶点为D．

（1）判断抛物线与x轴的交点情况；

（2）如图1，当m=1时，点P为第一象限内抛物线上一点，且△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求点P的坐标；

（3）如图2，直线和抛物线交于点A、B两点，与l交于点M，且MO=MB，点Q（x0，y0）在抛物线上，当m＞1时，时，求h的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）点的坐标为或或；（3）最大值为4．

【解析】

（1）令y=0，转化为一元二次方程，求出△=8（m-1）2，即可得出结论；
（2）先求出点C，D坐标，再分两种情况，判断出点P是CD的中垂线或CP的中垂线，即可得出结论；
（3）利用点M在抛物线对称轴上，和MO=BM表示出点B坐标，代入抛物线解析式中，求出m，进而得出抛物线解析式，再得出，即可得出结论．

解：（1）针对于二次函数y=x2-2mx-m2+4m-2，
令y=0，则x2-2mx-m2+4m-2=0，

∴

不论取何值，

∴抛物线与轴至少有一个交点（或一定有交点）．

（2）当时，∴点、点

当时，可知点与点关于对称，

∴点坐标为

当时，点在的垂直平分线上

∵∴点在直线上

∴解得

∴点坐标为和．

综上，点的坐标为或或．

（3）当时，

∵

∴点的横坐标为，则纵坐标

点，

把点代入抛物线得：

解得，（舍去）当时，

因为点在抛物线上，

∴

由题意知

∵

∴当时，随的增大而减小，

∴当时，代数式有最大值4，

∴最大值为4．