题目内容

如图，已知点A在函数 $数学公式$ （x＞0）的图象上，点B在函数 $数学公式$ （x＜0）的图象上，点C在函数 $数学公式$ （x＜0）的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，四边形ABCD是以AB、BC为一组邻边的矩形．
（1）若点A的坐标为（ $数学公式$ ，2），求点D的坐标；
（2）若点A在函数 $数学公式$ （x＞0）上移动，矩形ABCD的面积是否变化？如果不变，求出其面积；
（3）若矩形ABCD四个顶点A、B、C、D分别在 $数学公式$ ＞0，x＞0）， $数学公式$ ＜0，x＜0）， $数学公式$ ＞0，x＜0）， $数学公式$ ＜0，x＞0）上，请直接写出k₁、k₂、k₃、k₄满足的数量关系式．

解：（1）∵点A的坐标为（ $\text{[math]}$ ，2），AB∥x轴，
∴B点纵坐标为2，
又点B在函数 $\text{[math]}$ （x＜0）的图象上，
∴当y=2时，x=-1.5，∴B（-1.5，2），
∵BC∥y轴，
∴C点横坐标为-1.5，
又点C在函数 $\text{[math]}$ （x＜0）的图象上，
∴当x=-1.5时，y=-4，∴C（-1.5，-4）．
∵AD⊥y轴，
∴D（0.5，-4）．

（2）若点A在函数 $\text{[math]}$ （x＞0）上移动，矩形ABCD的面积不变．理由如下：
如图，设AB、CD与y轴分别交于F、G，BC、AD与x轴分别交于E、H，设A（a， $\text{[math]}$ ），则B（-3a， $\text{[math]}$ ），C（-3a，- $\text{[math]}$ ），D（a，- $\text{[math]}$ ）．
∵矩形ABCD的面积=矩形AFOH的面积+矩形BFOE的面积+矩形CEOG的面积+矩
形DHOG的面积=1+3+6+2=12．

（3）设A（t， $\text{[math]}$ ），则B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），D（t， $\text{[math]}$ ），
又∵点D在y= $\text{[math]}$ 的图象上，
t• $\text{[math]}$ =k₄，
∴k₁k₃=k₂k₄．
分析：（1）根据平行于x轴上的两点其纵坐标相同，平行于y轴上的两点其横坐标相同，以及点在函数的图象上即点的坐标满足函数的解析式，即可求出点D的坐标；
（2）设A（a， $\text{[math]}$ ），用含a的代数式分别表示B、C、D三点的坐标，然后根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知矩形ABCD的面积是一个固定的常数，因而面积不变；
（3）设A（t， $\text{[math]}$ ），则可用含t的代数式分别表示B、C、D三点的坐标，然后根据点D也在y= $\text{[math]}$ 的图象上，所以点D的坐标满足此函数的解析式，从而得出k₁、k₂、k₃、k₄满足的数量关系式．
点评：本题主要考查了平行于x轴上的两点与平行于y轴上的两点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义等知识，难度较大．