Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点M，当△BCM面积最大时，求△BPN的周长．

（3）在（2）的条件下，当△BCM面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△CNQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3 （2） （3）见解析

【解析】

（1）将A、B点坐标代入到解析式中求解即可；

（2）求得直线BC的解析式，然后求出△BCM的表达式，是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理求出△BPN的周长；

（3）C、N坐标已知设点Q坐标为（1，a），根据两点之间的距离公式表示出CQ、QN、CN然后分三种情况：①CQ＝QN；②CQ＝CN；③QN＝CN进行列式解答.

解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）坐标代入解析式中得：，解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，

则有：，解得：，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．

设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），

∴PM＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．

∴

，

∴

∴当时，△BCM的面积最大．

此时，

∴PN＝ON＝，

∴，

在Rt△BPN中，由勾股定理得：，

，

∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为；

（3）由（2）知P点坐标为，∴，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的对称轴为x＝1，

设Q（1，a），∵C（0，3），，

∴，（两点之间距离公式），

若△CNQ为等腰三角形，可分三种情况：

①当CQ＝QN时，，解得：，

∴点Q的坐标为，

②当CQ＝CN时，，解得：，

∴点Q的坐标为，，

③当QN＝CN时，，解得：，

∴点Q的坐标为，，

综合以上可得点Q的坐标为或或或或．