题目内容
如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：λA=
．特别地，当点D、E重合时，规定：λA=0．另外，对λB、λC作类似的规定．
（1）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求λA、λC；
（2）在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且λA=2，面积也为2；
（3）判断下列三个命题的真假（真命题打“√”，假命题打“×”）：
①若△ABC中λA＜1，则△ABC为锐角三角形；______
②若△ABC中λA=1，则△ABC为锐角三角形；______
③若△ABC中λA＞1，则△ABC为钝角三角形．______．
【答案】分析：（1）根据直角三角形斜边中线、高的特点进行转换即可得出答案，
（2）根据题目要求即可画出图象，
（3）根据真假命题的定义即可得出答案．
解答：
解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又AC⊥DC，
∴λA=
=1，
过点C分别作AB边上的高CE和中线CF，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λC=
=
=cos60°=
；
（2）如图：
（3）①×，②×，③√．
点评：本题主要考查了直角三角形斜边中线、高的性质以及特殊角的三角函数值，同时考查了画图，真假命题的判断，比较复杂，难度较大．
（2）根据题目要求即可画出图象，
（3）根据真假命题的定义即可得出答案．
解答：
解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又AC⊥DC，∴λA=
=1，过点C分别作AB边上的高CE和中线CF，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λC=
==cos60°=；（2）如图：
（3）①×，②×，③√．
点评：本题主要考查了直角三角形斜边中线、高的性质以及特殊角的三角函数值，同时考查了画图，真假命题的判断，比较复杂，难度较大．
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．特别地，当点D、E重合时，规定：λA
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