Question

如图（1）所示，已知AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ABC沿AD对折，点C落到点E的位置，连接BE，如图（2）
（1）若线段BC=12cm，求线段BE的长度．
（2）在（1）的条件下，若线段AD=8cm，求四边形AEBD的面积．
（3）若折叠后得到的四边形AEBD的是平行四边形，试判断△ADC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由图形对称的性质可判断出△BDE为等腰直角三角形，由勾股定理即可求出BE的长；
（2）作EF⊥AD于点F，易得△DEF为等腰直角三角形，再根据S_{四边形AEBD}=S_△BDE+S_△ADE即可求解．
（3）根据折叠后得到的四边形AEBD的是平行四边形，由平行四边形的性质及图形折叠的性质即可判断出△ADC为等腰直角三角形．

解答：解：（1）∵∠ADC=45°，
∴∠ADE=45°，CD=DE，∠CDE=∠BDE=90°，
又∵D是BC的中点，
∴CD=BD=DE=6，
∴△BDE为等腰直角三角形，BE=6

2

；（3分）

（2）作EF⊥AD于点F，易得△DEF为等腰直角三角形，
∴EF=3

2

，AD=8，S_△ADE=8×3

2

÷2=12

2

cm²，
S_△BDE=6×6÷2=18cm²
∴S_{四边形AEBD}=S_△BDE+S_△ADE=（18+12

2

）cm²；（3分）

（3）判定：△ADC为等腰直角三角形
∵折叠后得到的四边形AEBD的是平行四边形，
∴AE平行且等于BD，
又∵CD=BD，
∵AC=AE，
∴AC=CD，
∵∠ADC=45°
∴△ADC为等腰直角三角形．（4分）

点评：本题考查的是图形翻折变幻的性质、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质，有一定的综合性，但难易适中．