Question

如图（甲）所示，已知点C为线段AB上一点，四边形ACMF和四边形BCNE是两个正方形：如图（乙），若把甲图中的两个正方形换成△ACM、△BCN都是等边三角形．连结DE．
（1）试探究图（甲）中AN与BM的数量关系与位置关系，并说明理由．
（2）求证：AD=ME；（图乙）
（3）求证：DE∥AB； （图乙）
（4）求证：∠BON=60°．（图乙）

Answer 1

分析：（1）延长BM交AN于点G，根据正方形的性质就可以得出△BCM≌△NCA，就可以得出AN=BM，∠MGN=90°而得出结论；
（2）先由等边三角形的性质得出△ACN≌△MCB就可以得出∠CMB=∠CAN，再证明△MCE≌△ACD就可以得出结论；
（3）由（2）△MCE≌△ACD可以得出CE=CD，就可以得出△CDE是等边三角形，就可以得出∠DEC=∠NCB而得出结论；
（4）由∠BON=∠AOM=∠NAB+∠ABM=∠CMB+∠CBM=∠ACM而得出结论．

解答：解：（1）AN=BM，AN⊥BM．
理由：延长BM交AN于点G，
∵四边形ACMF和四边形BCNE是两个正方形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACN=∠MCB=90°．
在△BCM和△NCA中，

AC=MC ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△BCM≌△NCA（SAS），
∴AN=BM，∠ANC=∠MBC．
∵∠MBC+∠CMB=90°，且∠GMN=∠CMB，
∴∠ANC+∠GMN=90°，
∴∠NGM=90°，
∴BG⊥AN，即AN⊥BM．

（2）∵△ACM、△BCN都是等边三角形．
∴∠ACM=∠NCB=60°
∵∠ACM+∠NCB+∠MCN=180°，
∴∠MCN=60°．
∴∠ACM=∠MCN．
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，
∴∠ACN=∠MCB．
在△ACN和△MCB中，

AC=MC ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴∠CAN=∠CMB．
在△CAN和△CEM中，

∠CAN=∠CMB CA=CM ∠ACN=∠MCB

，
∴△CAN≌△CEM（SAS），
∴AD=ME；

（3）∵△CAN≌△CEM，
∴CD=CE．
∵∠MCN=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DEC=60°，
∴∠DEC=∠NCB，
∴DE∥AB；

（4）∵∠BON=∠AOM，且∠AOM=∠NAB+∠ABM，
∴∠BON=∠NAB+∠ABM．
∴∠BON=∠CMB+∠ABM．
∵∠CMB+∠ABM=∠ACM=60°，
∴∠BON=60°．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定与性质的运用，平行线的判定，三角形的外角与内角的关系的运用，解答时证明三角形全等是关键．