题目内容

在平面直角坐标系xOy中，A，B两点在函数 $数学公式$ 的图象上，其中k₁＞0．AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，且AC=1．

（1）若k₁=2，则AO的长为，△BOD的面积为；
（2）如图1，若点B的横坐标为k₁，且k₁＞1，当AO=AB时，求k₁的值；
（3）如图2，OC=4，BE⊥y轴于点E，函数 $数学公式$ 的图象分别与线段BE，BD交于点M，N，其中0＜k₂＜k₁．将△OMN的面积记为S₁，△BMN的面积记为S₂，若S=S₁-S₂，求S与k₂的函数关系式以及S的最大值．

解：（1）∵AC=1，k₁=2，点A在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴y= $\text{[math]}$ =2，即OC=2，
∴AO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵点B在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，BD⊥x轴，
∴△BOD的面积为1．

（2）∵A，B两点在函数C1：y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，
∴点A，B的坐标分别为（1，k₁），（k₁，1）．
∵AO=AB，
由勾股定理得AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，
∴1+k₁²=（1-k₁）²+（k₁-1）²．
解得k₁=2+ $\text{[math]}$ 或k₁=2- $\text{[math]}$ ，
∵k₁＞1，
∴k₁=2+ $\text{[math]}$ ；

（3）∵OC=4，
∴点A的坐标为（1，4）．
∴k₁=4．
设点B的坐标为（m， $\text{[math]}$ ），
∵BE⊥y轴于点E，BD⊥x轴于点D，
∴四边形ODBE为矩形，且S_{四边形ODBE}=4，
点M的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，点N的横坐标为m．
∵点M，N在函数C₂：y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，
∴点M的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），点N的坐标为（m， $\text{[math]}$ ）．
∴S_△OME=S_△OND= $\text{[math]}$ ．
∴S₂= $\text{[math]}$ BM•BN= $\text{[math]}$ （m- $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
∴S=S₁-S₂=（4-k₂-S₂）-S₂=4-k₂-2S₂．
∴S=4-k₂-2× $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ k₂²+k₂，
其中0＜k₂＜4．
∵S=- $\text{[math]}$ k₂²+k₂=- $\text{[math]}$ k₂（k₂-1）²，而- $\text{[math]}$ ＜0，
∴当k₂=2时，S的最大值为1．
故答案为： $\text{[math]}$ ，1．
分析：（1）把k₁=2，AC=1代入反比例函数的解析式求出A点坐标，再根据勾股定理求出OA的长；根据反比例函数图象上点的坐标特点可直接得出△BOD的面积；
（2）由于A，B两点在函数C1：y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，故点A，B的坐标分别为（1，k₁），（k₁，1），再由AO=AB，可根据由勾股定理得出AO²=1+k₁²，AB²=（1-k₁）²+（k₁-1）²，再求出k₁的值即可；
（3））先根据OC=4得出点A的坐标，故可得出k₁的值，设点B的坐标为（m， $\text{[math]}$ ），因为BE⊥y轴于点E，BD⊥x轴于点D，所以四边形ODBE为矩形，且S_{四边形ODBE}=4，再由点M的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，点N的横坐标为m．点M，N在函数C₂：y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上可知点M的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），点N的坐标为（m， $\text{[math]}$ ）．所以S_△OME=S_△OND= $\text{[math]}$ ，S₂= $\text{[math]}$ BM•BN，再由S=S₁-S₂可得出关于k₂的解析式，由其中0＜k₂＜4即可得出结论．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，此题涉及到勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特点及二次函数的最值问题等相关知识，难度较大．