Question

如图，在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，OB＞OC，点A在y轴正半轴上，AD平分∠BAC，交x轴于点D．
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAO的度数？
（2）试写出∠DAO与∠C-∠B的关系？（不必证明）
（3）若点A在y轴正半轴上运动，当点A运动至点P时，请你作出△BPC及其角平分线PQ，
并直接写出∠QPO与∠PBC、∠PCB三者的关系？

Answer 1

解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=100°．
又AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=50°，
∴∠ADB=50°+50°=100°，
又∵AD是BC边上的高，
∴∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠DAO=∠ADB=100°，
∴∠EAD=10°，

（2）由图知，∠DAO=∠BAD-∠CAO=∠BAC-∠CAO
=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）
=90°-∠B-∠C-90°+∠C
=（∠C-∠B），

（3）如图所示：
由图知：∠QPO=∠BPQ-∠CPO=∠BPC-∠CPO
=（180°-∠PBC-∠PCB）-（90°-∠PCB）
=90°-∠PBC-∠PCB-90°+∠PCB
=（∠PCB-∠PBC）．
分析：（1）根据三角形内角和定理、角平分线的性质、外角的性质即可推理得出答案，
（2）根据（1）中答案即可推理得出结论，
（3）根据题意作出图示，然后根据三角形内角和定理、角平分线的性质、外角的性质即可推理得出结论．
点评：本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、外角的性质及平面直角坐标系的性质，比较综合，难度适中．