Question

已知△ABC．
（1）如图，AC⊥AB，点D为BC上一点，∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠CAD，
求证：AE∥BC．

（2）如图，点P是BC上一点，且∠APC＜90°，以AP为一边作正方形APMN，若NC⊥BC，则∠ACB=______°，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）证明：∵AC⊥AB，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠BAD+∠DAC=90°；
∵已知∠ABD=∠BAD，
∴∠ACB=∠DAC，
又∵已知∠EAC=∠CAD，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC．

（2）∠ACB=45°；
证明：连接PN，并经PN为直径作圆O，则正方形APMN为圆O的内接正方形；
∵NC⊥BC，∴点C在圆上，
∵PN为正方形的对角线，
∴∠ANP=45°，
∴∠ACB=45°（同弧对应的圆周角相等）．
分析：（1）由AC⊥AB，可得∠ABC+∠ACB=90°，∠BAD+∠DAC=90°；由∠ABD=∠BAD，可得：∠ACB=∠DAC，又因为∠EAC=∠CAD，所以可得∠EAC=∠ACB，即可证明AE∥BC．
（2）连接PN，并以PN为直径作圆O，则正方形APMN为圆O的内接正方形；由NC⊥BC可得点C在圆上，据正方形的性质可得∠ANP=45°，由同弧对应的圆周角相等可知∠ACB=45°．
点评：本题考查了平行线的判定，正方形的性质及圆的性质，是一道考查学生综合能力的好题，正确作出辅助线是解题的关键．