题目内容

已知：对于实数a，只有一个实数值x满足等式
x+1
x-1
+
x-1
x+1
+
2x+a+2
x2-1
=0，试求所有这样的实数a的和．
方程两边都乘以（x+1）（x-1）得，（x+1）2+（x-1）2+2x+a+2=0，
整理得，2x2+2x+a+4=0，①
△=b2-4ac=22-4×2×（a+4）=-8a-28，
（1）当方程①有两个相等的实数根时，△=0，
即-8a-28=0，
解得a1=-
7
2
，
此时方程①有一个根x=-
1
2
，验证可知x=-
1
2
的确满足题中的等式，
（2）当方程①有两个不相等的实数根时，△＞0，
即-8a-28＞0，
解得a＜-
7
2
，
（i）若x=1是方程①的根，则原方程有增根x=1，代入①得，2+2+a+4=0，
解得a2=-8，
此时方程①的另一个根x=-2，它的确也满足题中的等式；
（ii）若x=-1是方程①的根，则原方程有增根x=-1，代入①得，2-2+a+4=0，
解得a3=-4，
此时方程①的另一个根x=0，验证可知x=0的确满足题中的等式；
因此a1=-
7
2
，a2=-8，a3=-4即为所求，
a1+a2+a3=-
7
2
-8-4=-
31
2
．
故答案为：-
31
2
．
练习册系列答案
相关题目
阅读理解：
对于任意正实数a，b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有点a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=
 
时，m+
1
m
有最小值
 
；
（2）思考验证：
①如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）．过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．试根据图形验证a+b≥2
ab
，并指出等号成立时的条件；
②探索应用：如图2，已知A（-3，0），B（0，-4）P为双曲线y=
12
x
(x＞0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
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已知二次函数y=kx2+（2k-1）x-1与x轴交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），则对于下列结论：
①当x=-2时，y=1；
②当x＞x2时，y＞0；
③方程y=kx2+（2k-1）x-1=0有两个不相等的实数根x1，x2；
④x2-x1=
1+4k2
k
，
其中所有正确的结论是
 
（只需按顺序填写序号，答案格式如：①②③④）．
已知二次函数y=kx2+（2k-1）x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2），则对于下列结论：①当x=-2时，y=1；②当x＞x1时，y＞0；③方程kx2+（2k-1）x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1＜-1，x2＞-1；⑤x2-x1=
1+4k2
k
，其中所有正确的结论是
 
（只需填写序号）．
已知二次函数y=kx2+（2k-1）x-1与x轴交点的横坐标为x1、x2（x1＜x2），则对于下列结论：①当x=-2时，y=1；②当x＞x1时，y＞0；③方程kx2+（2k-1）x-1=0有两个不相等的实数根x1、x2；④x1＜-1，x2＞-1；⑤x2-x1=
1+4k2
k
，其中所有正确的结论是______（只需填写序号）．
阅读理解：
对于任意正实数a，b，∵≥0，∴a-+b≥0，∴a+b≥2，只有点a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=______时，m+有最小值______；
（2）思考验证：
①如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点，（与点A，B不重合）．过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．试根据图形验证a+b≥，并指出等号成立时的条件；
②探索应用：如图2，已知A（-3，0），B（0，-4）P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PO⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

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