Question

如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

 

Answer 1

解：（1）∵点A横坐标为4，

把x=4代入中得y=2，∴A（4，2），…………… 2分

∵点A是直线与双曲线（k＞0）的交点，

∴k=4×2=8；                  ……………………… 4分

（2）解法一：如图，∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）．       ……………………………… 6分

过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．

∵S_矩形ONDM=32，S_△ONC=4，S_△CDA=9，S_△OAM=4．………………… 8分

∴S_△AOC=S_矩形ONDM﹣S_△ONC﹣S_△CDA﹣S_△OAM=32﹣4﹣9﹣4=15；…10分

解法二：如图，过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，

∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1，

∴点C的坐标为（1，8）．                       .......6分

∵点C、A都在双曲线上，

∴S_△COE=S_△AOF=4，∴S_△COE+S_梯形CEFA=S_△COA+S_△AOF．

∴S_△COA=S_梯形CEFA．                          .......8分

∵S_梯形CEFA=×（2+8）×3=15，

∴S_△COA=15                                .......10分