Question

操作探究自我操作：如图1所示，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，利用此图，作一对以点O为对称中心的全等△MOA和△NOB，并使A、B两点都在直线PQ上．（只保留作图痕迹，不写作法）

（1）探究1：如图2所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为BC的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
（2）探究2：如图3所示，DE，BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．试探究线段AB与DF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．
（3）发现：如图3所示，DE，BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：n，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．则线段AB与DF，CF之间的等量关系为

 

．

Answer 1

分析：（1）以点O为圆心以任意长为半径画圆分别交OP于点A，交OQ于点B，连接MA，NB即可；
（2）延长AE、DF相交于点M，根据AB∥CD，求证△AEB≌△CEM，可得AB=CM，再根据∠BAE=∠EAF，求证MF=AF即可；
（3）分别延长DE，CF交于点G，根据CF∥AB，求证△ABE≌△GCE，得出

AB

CG

=

BE

CE

，进而求得CG=2AB，再根据∠BAE=∠EDF，求证FG=DF即可．

解答：解：操作探究自我操作，如图1：

（1）如图2，AB=AF-CF．
延长AE、DF相交于点M，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠M，∠B=ECM，
又∵BE=CE，
∴△AEB≌△CEM，
∴AB=CM，
又∵∠BAE=∠EAF，
∴∠M=∠EAF，
∴MF=AF，
∴AB=CM=FM-CF=AF-CF．

（2）如图3，分别延长DE，CF交于点G，
∵CF∥AB，
∴∠B=∠C，∠BAE=∠G，
∴△ABE∽△GCE，
∴

AB

CG

=

BE

CE

，
又∵

BE

CE

=

1

2

，
∴

AB

CG

=

1

2

，即CG=2AB，
又∵∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴FG=DF，
∴2AB=GC=FG+CF=DF+CF；

（3）发现：nAB=DF+CF．
故答案为：nAB=DF+CF．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是作好辅助线，利用全等三角形判定定理求证三角形全等．