Question

如图①，平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C在第一象限，AC=BC，点D、E分别是AC、BC的中点．已知A、D两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），
（1）直接写出下列各点的坐标：
B

（9，0）

；C

（3，8）

；E

（6，4）

；
（2）如图②动点P从点A出发，沿A→D→E的方向向点E运动（不与E重合），同时动点M从点D出发，沿D→E→B的方向向点B运动（不与B重合），P、M运动的速度均为每秒1个单位，过点P的直线l与线段BC平行，交线段AB于点Q，设运动时间为t秒（t＞0），
①直接写出t的取值：
当

5≤t＜11

时，四边形PQBE为平行四边形；
当

t=6

时，四边形PQBM为菱形；
②求△BQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设过点A、D的直线解析式为y=kx+b，把点A（-3，0）、D（0，4）代入即可求出直线AD的解析式，再由两点间的距离公式求出线段AD的长，设出C点坐标，由AD=CD即可得出C点坐标，过点C作CH⊥x轴于点H，由AC=BC可知点D与点E，点A与点B关于直线CH对称，故可得出B、E两点的坐标；
（2）①先求出AB的长，再根据D、E分别是AC、BC的中点可知DE是△ABC的中位线，故可求出DE的长，由于PQ∥BC，故可得出当点P、点M在线段DE上时四边形PQBE为平行四边形，再由AD+DE=5+6=11，P、M运动的速度均为每秒1个单位即可得出当四边形PQBE为平行四边形时t的取值范围；再由四边形PQBM为菱形，PQ∥BE，故M、E重合，由此即可得出t的值；
②由于当0＜t＜5时，点P在AD上，点M在DE上；当5≤t≤6时，点P、点M均在DE上；当6＜t＜11时，点P在DE上，点M在EB上故应分三种情况进行讨论．

解答：解：（1）设过点A、D的直线解析式为y=kx+b，
∵点A（-3，0）、D（0，4）代入得

-3k+b=0 b=4

，
解得

k= 4 3 b=4

，
∴直线AD的解析式为y=

4

3

x+4，
∴AD=

(-3)2+42

=5，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴CD=AD=5，
设点C（x，

4

3

x+4），则
CD=

x2+( 4 3 x)2

=

5

，
解得x₁=3或x₂=-3（舍去），
∴C（3，8），
如图①，过点C作CH⊥x轴于点H，则直线CH的解析式为x=3，
∵AC=BC，
∴点D与点E，点A与点B关于直线CH对称，
∵A（-3，0）、D（0，4），
∴B（9，0）；E（6，4），
故答案为：B（9，0）；C（3，8）；E（6，4）；

（2）①∵A（-3，0），B（9，0），
∴AB=|9+3|=12，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE=

1

2

AB=6，
∵PQ∥BC，
∴当点P、点M在线段DE上时四边形PQBE为平行四边形，
∵AD+DE=5+6=11，P、M运动的速度均为每秒1个单位，
∴当5≤t＜11时，四边形PQBE为平行四边形；
∵四边形PQBM为菱形，
∴PQ∥BM，
∵PQ∥BE，
∴M、E重合，
∵DE=6，
∴当t=6时，四边形PQBM为菱形．
故答案为：5≤t＜11；t=6；
②由题意得：AC=BC=10，AB=12，DE为△ABC的中位线，
则DE∥AB，DE=6，AD=CD=BE=CE=5
当0＜t＜5时，点P在AD上，点M在DE上，AP=DM=t，
∵PQ∥BC，
∴∠AQP=∠ABC
∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，即

t

10

=

AQ

12

，则AQ=

6

5

t，BQ=12-

6

5

t，
∴S=

1

2

(12-

6

5

t)•4=-

12

5

t+24；
当5≤t≤6时，点P、点M均在DE上，PE=BQ=11-t，
则S=

1

2

(11-t)•4=-2t+22；
当6＜t＜11时，点P在DE上，点M在EB上，则BM=11-t，PE=BQ=11-t，
如图②，过点M作MF⊥AB，垂足为F，则MF=

4

5

(11-t)
则S=

1

2

(11-t)•

4

5

(11-t)=

2

5

(11-t)2=

2

5

t2-

44

5

t+

242

5

．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定等相关知识，难度较大．