Question

【题目】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为第一象限抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，点为第四象限抛物线上一点，连接，过点作轴的垂线交于点，射线交第三象限抛物线于点，连接，若，，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）OB=2OC=4，则点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,2)，将点B、C坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）设PA交y轴于H，S△ACP=×CH×（xP-xA），先求出直线AP解析式，得出CH长，即可求解；

（3）当S=时，t2+t=得t=2，P(2,3)，作EF⊥x轴，QM⊥x轴，CR⊥PM，EN⊥QR，

tan∠EBF=，得DH=-m-1，∠QEB=2∠ABE，所以∠QEN=∠EBF，tan∠QEN=tan∠EBF，，得m=1-n，DK=-m+1，tan∠QCR=，，即可求解．

（1）∵OB=2OC=4，

∴点B、C的坐标分别为(4,0)、(0,2)，

将点B、C坐标代入函数表达式得：

解得

故函数的表达式为：

故答案为：

（2）设点P(t,t2+t+2)，如图1，设PA交y轴于点H，

令

解得x=-1或x=4

∴A(-1,0)

设直线AP解析式为y=kx+b

解得k=(t4)，b=(t4)

∴直线AP解析式为：y=(t4)x(t4)

令x=0，y=(t4)

∴CH=2+(t4)=t，

S△ACP=×CH×(xPxA)=×t×(t+1)=t2+t，

（3）当S=时，t2+t=

得t=2，

∴P(2,3)，

如图2，作EF⊥x轴，QM⊥x轴，CR⊥PM，EN⊥QR，

设E(m,m2+m+2)，Q(n,n2+n+2)，

∵tan∠EBF=，

∴

得DH=m1，

∵∠QEB=2∠ABE，

∴∠QEN=∠EBF

tan∠QEN=tan∠EBF， 即，

∴

得m=1n，

DK=m+1，tan∠QCR=

∴

解得：n=6，

故点Q(6,7)

故答案为：Q(6,7)