题目内容

如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延长线于B₁．
（1）请你探究： $数学公式$ ， $数学公式$ 是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问 $数学公式$ 一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90?，AC=8，AB= $数学公式$ ，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求 $数学公式$ 的值．

解：（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∵∠C₁AB₁=60°，
∴∠B₁=30°，
∴AB₁=2AC₁，
又∵∠DAB₁=30°，
∴DA=DB₁，
而DA=2DC₁，
∴DB₁=2DC₁，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（2）结论仍然成立，理由如下：

如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
而BE=AB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；

（3）如图，连DE，

∵AD为△ABC的内角角平分线
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，则DB=CD，易得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；由于∠C₁AB₁=60°，得∠B₁=30°，则AB₁=2AC₁，同理可得到DB₁=2DC₁，易得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD，则BE=AB，并且根据相似三角形的判定得△EBD∽△ACD，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，而BE=AB，于是有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，这实际是三角形的角平分线定理；
（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得到DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．