Question

已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=CD=10，sinC=

4

5

．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）点E，F分别是BC，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF．求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置．

Answer 1

分析：（1）本题的关键是求出上底和梯形的高，可通过构建直角三角形求解．过D作DM⊥BC于M，那么再直角三角形DMC中，可根据CD的长和∠C的正弦值求出梯形的高，进而可求出CM的长，根据AD=BC-CM也就求出了上底的长，由此可根据梯形的面积公式求出其面积．
（2）本题要先求出三角形EFC的面积与时间的函数关系式，可根据E，F的速度用时间t表示出CE，CF的长，△CEF中，可以用CE作底边，以CF•sinC作高，可据此得出三角形CEF的面积和时间t的函数关系式，根据函数的性质即可求出EFC的面积最大值和对应的时间t的值，然后根据时间t确定出E、F的具体位置．

解答：解：（1）过点D作DM⊥BC，垂足为M，
在Rt△DMC中，DM=CD•sinC=10×

4

5

=8
CM=

CD2-DM2

=

102-82

=6
∴BM=BC-CM=10-6=4，
∴AD=4
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）DM=

1

2

（4+10）×8=56；

（2）设运动时间为x秒，则有BE=CF=x，EC=10-x
过点F作FN⊥BC，垂足为N，在Rt△FNC中，FN=CF•sinC=

4

5

x
∴S_△EFC=

1

2

EC•FN=

1

2

（10-x）×

4

5

x=-

2

5

x²+4x
当x=-

4

2×(- 2 5 )

=5时，S_△EFC=-

2

5

×5²+4×5=10
即△EFC面积的最大值为10，
此时，点E，F分别在BC，CD的中点处．

点评：本题主要考查了梯形的性质、解直角三角形、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．