Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．

(1)求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于E，F两点；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)证明：AE=AF．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作BF平分∠ABC即可；

(2)分析题意，首先根据角平分线的作法作出∠ABC的角平分线，并标注点E、F即可；根据直角三角形的性质，可得出∠BED+∠EBD=90°，∠AFE+∠ABF=90°，进而得出∠BED=∠AFE； 接下来根据对顶角相等，可得出∠AEF=∠AFE，据此可得到结论.

解：(1)如图所示，射线BF即为所求

(2)证明：∵AD⊥BC

∴∠ADB=90°

∴∠BED+∠EBD=90°

∵∠BAC=90°

∴∠AFE+∠ABF=90°

∵∠EBD=∠ABF

∴∠AFE=∠BED，

∵∠AEF=∠BED

∴∠AEF=∠AFE

∴AE=AF