题目内容

如图所示，某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米．学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如图）．其中矩形EFGH的一边EF在边BC上．其中两个顶点H、G分别在边AB、AC上．现计划在△AHG上种草，在△BHE、△GFC上都种花，在矩形EFGH上兴建喷泉．当FG长为多少米时，种草的面积与种花的面积相等？

解：设FG=x米，则AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴HG=120- $\text{[math]}$ ，
BE+FC=120-（120- $\text{[math]}$ x）= $\text{[math]}$ x，
∴ $\text{[math]}$ •（120- $\text{[math]}$ x）•（80-x）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ x•x，
解得x=40．
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等．
∴AK=40，HG=-1.5x+120=60，
∴S_△AHG= $\text{[math]}$ ×40×60=1200平方米，
∴种花的面积 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×120×80-1200=1200平方米．
答：当FG为40米时，喷泉面积恰好等于锐角三角形ABC的一半，种花和种草的面积均为1200平方米．
分析：易得△AHG∽△ABC，利用相似三角形对应边的比等于对应高的比可得HG的代数式，进而根据种草的面积与种花的面积相等，可得FG的长，进而求得AK，HG的长，利用直角三角形的面积公式可得△AHG的面积，进而让△ABC面积的一半减去△AHG的面积即为种花的面积．
点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边等于对应高的比．