题目内容

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=
1
4
x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x1•x2的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m（m是常数），使m与以MN为直径的圆相切？如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
（1）∵直线y=kx+b过点F（0，1），
∴b=1；

（2）∵直线y=kx+b与抛物线y=
1
4
x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，
∴可以得出：kx+b=
1
4
x2，
整理得：
1
4
x2-kx-1=0，
∵a=
1
4
，c=-1，
∴x1•x2=-4，

（3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）．
理由如下：∵FM12=FF12+M1F12=x12+4，
FN12=FF12+F1N12=x22+4，
M1N12=（x2-x1）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8，
∴FM12+FN12=M1N12，
∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形．

（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1．
过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2，
=（x1-x2）2+[（kx1+1）-（kx2+1）]2，
=（x1-x2）2+k2（x1-x2）2，
=（k2+1）（x1-x2）2，
=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1•x2]
=（k2+1）（16k2+16）
=16（k2+1）2，
∴MN=4（k2+1），
分别取MN和M1N1的中点P，P1，
PP1=
1
2
（MM1+NN1）=
1
2
（y1+1+y2+1）=
1
2
（y1+y2+2）=
1
2
（y1+y2）+1=
1
2
k（x1+x2）+2=2k2+2，
∴PP1=
1
2
MN
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半．
∴以MN为直径的圆与l相切．
即对于过点F的任意直线MN，存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，这条直线m的解析式是y=-1．
练习册系列答案
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1
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月份x123
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（3）去年7月份黑豆价格在6月的基础上下降了a%，进货量在6月份的基础上增加了2a%．使得7月份进货金额为363万元，请你计算出a的最大整数值．
（参考数据：
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≈1.7，
5
≈2.2，
6
≈2.4，
7
≈2.6）
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