题目内容

阅读下面的问题及解答．
已知：如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，则∠BOC=90°+ $数学公式$ ∠A= $数学公式$ ×180°+ $数学公式$ ∠A；
如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于O₁、O₂，则∠BO₁C= $数学公式$ ×180°+ $数学公式$ ∠A，∠BO₂C= $数学公式$ ×180°+ $数学公式$ ∠A，
根据以上信息，回答下列问题：

（1）你能猜想出它的规律吗？（n等分时，内部有n-1个点）．∠BO₁C=______（用n的代数式表示），
∠BO_n-1C=______（图③）．
（2）根据你的猜想，取n=4时，证明∠BO₃C的度数成立．

解：（1）∠BO₁C= $\text{[math]}$ ×180°+ $\text{[math]}$ ∠A，
∠BO_n-1C= $\text{[math]}$ ×180°+ $\text{[math]}$ ∠A．

（2）当n=4时，∠BO₃C= $\text{[math]}$ ×180°+ $\text{[math]}$ ∠A．
证明：等式左边=∠BO₃C=180°-（∠O₃BC+∠O₃CB）=180°- $\text{[math]}$ （∠B+∠C）
=180°- $\text{[math]}$ （180°-∠A）= $\text{[math]}$ ×180°+ $\text{[math]}$ ∠A=等式右边．
∴当n=4时，∠BO₃C= $\text{[math]}$ ×180°+ $\text{[math]}$ ∠A．
分析：（1）根据已知中的特例，观察两部分前边的倍数和n等分线间的关系，从而写出结论；
（2）根据三角形的内角和定理和四等分角进行证明．
点评：此题综合运用了三角形的内角和定理和n等分角的概念．

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阅读下面的问题及解答．
已知：如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于O点，则∠BOC=90°+

∠A；
如图②，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于O₁、O₂，则∠BO₁C=

∠A，∠BO₂C=

∠A，
根据以上信息，回答下列问题：

（1）你能猜想出它的规律吗？（n等分时，内部有n-1个点）．∠BO₁C=

（用n的代数式表示），
∠BO_n-1C=

（图③）．
（2）根据你的猜想，取n=4时，证明∠BO₃C的度数成立．

先阅读下面的材料，然后解答问题：
①x+

的解为x1=2，x2=

的解为x1=3，x2=

的解为x1=4，x2=

；
…
（1）观察上述方程的解的规律直接写出第④，⑤个方程及它们的解；
（2）请用一个含有正整数n的式子表示第n个方程及它的解，并用“方程的解”的概念进行验证；
（3）利用（2）的结论解关于x方程：

（2012•茂名）阅读下面材料，然后解答问题：
在平面直角坐标系中，以任意两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为端点的线段的中点坐标为（

）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=

（x＜0）和y=

（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y=

象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB．
（1）求a、b、k的值及点C的坐标；
（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．

阅读下面材料，并解答下列问题：
在形如a^b=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算．
现在我们研究第三种情况：已知a和N，求b，我们把这种运算叫作对数运算．
定义：如果a^b=N（a＞0．a≠1，N＞0），则b叫作以a为底的N的对数，记作b=log_aN．
例如：因为2³=8，所以log₂8=3；因为2-3=

=-3．
（1）根据定义计算：
①log₃81=

； ②log₃3=

；
③log₃1=

； ④如果log_x16=4，那么x=

．
（2）设a^x=M，a^y=N，则log_aN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数）．用log_aM，log_aN的代数式分别表示log_aMN及loga

，并说明理由．