Question

2．如图，在?ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．
（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；
（2）求△ACE的面积．

Answer 1

分析 （1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；
（2）首先由三线合一，求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．

解答 解：（1）如图，连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．
理由如下：
∵BD、AC是?ABCD的对角线，
∴点O是AC的中点，
∵AE、BO是等腰△ABC两腰上的中线，
∴AE=BO，AO=BE，
∵AB=BA，
∴△ABO≌△BAE（SSS），
∴∠ABO=∠BAE，
△ABF中，∵∠FAB=∠FBA，∴FA=FB，
∵∠BAC=∠ABC，
∴∠EAC=∠OBC，
由$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠EAC=∠OBC}\\{FA=FB}\end{array}\right.$可得△AFC≌BFC（SAS）
∴∠ACF=∠BCF，即CH是等腰△ABC顶角平分线，
所以CH是△ABC的高；

（2）∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∵AE是△ABC的中线，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=6．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中线的性质．注意三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．