Question

19．如图，点O是?ABCD对角线AC的中点，过点O的直线ME、NF交边于M、E、N、F，求证：MN$\stackrel{∥}{=}$EF．

Answer 1

分析 先证明△AOF≌△CON（ASA），得出AE=CN，同理得出AM=CE，再证明△AMF≌△CEN，得出对应边相等MF=EN，同理得出MN=EF，证出四边形MNEF是平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠OAF=∠OCN，
∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
在△AOF和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠CON}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠OAF=∠OCN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△CON（ASA），
∴AE=CN，
同理：AM=CE，
在△AMF和△CEN中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=CN}&{\;}\\{∠MAF=∠ECN}&{\;}\\{AM=CE}&{\;}\end{array}\right.$
∴△AMF≌△CEN（SAS），
∴MF=EN，
同理：MN=EF，
∴四边形MNEF是平行四边形，
∴MN∥EF，MN=EF．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应边相等证明平行四边形是解决问题的关键．