题目内容

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= $数学公式$ 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA= $数学公式$ ，tan∠AOC= $数学公式$ ，点B的坐标为（ $数学公式$ ，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

解：（1）过点A作AH⊥x于点H．
在RT△AHO中，tan∠AOH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以OH=2AH．
又AH²+HO²=OA²，且OA= $\text{[math]}$ ，
所以AH=1，OH=2，
即点A（-2，1）．
代入y= $\text{[math]}$ 得
k=-2．
∴反比例函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ ．
又因为点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ，m），
代入解得m=-4．
∴B（ $\text{[math]}$ ，-4）．
把A（-2，1）B（ $\text{[math]}$ ，-4）代入y=ax+b，得
$\text{[math]}$ ，
∴a=-2，b=-3．
∴一次函数的解析式为y=-2x-3．

（2）在y=-2x-3中，当y=0时，x=- $\text{[math]}$ ．
即C（ $\text{[math]}$ ，0）．
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△COB= $\text{[math]}$ （1+4）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据tan∠AOC= $\text{[math]}$ ，且OA= $\text{[math]}$ ，结合勾股定理可以求得点A的坐标，进一步代入y= $\text{[math]}$ 中，得到反比例函数的解析式；然后根据反比例函数的解析式得到点B的坐标，再根据待定系数法求一次函数解析式；
（2）三角形AOB的面积可利用，求和的方法即等于S_△AOC+S_△COB来求．
点评：此题综合考查了解直角三角形、待定系数法、和函数的基本知识，难易程度适中．