Question

如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm²，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．

Answer 1

解：（1）设正方形的边长为xcm．
则（10﹣2x）（8﹣2x）=48，
即x²﹣9x+8=0，解得x₁=8（不合题意，舍去），x₂=1．
答：剪去的正方形的边长为1cm．
（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm²，
则y与x的函数关系式为：y=2（10﹣2x）x+2（8﹣2x）x，即y=﹣8x²+36x．（0＜x＜4）
改写为y=﹣8（x﹣）²+，
∴当x=2.25时，y最大=40.5．
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm²．