Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC交BA的延长线于点F，E为垂足．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AB=6，DF=4，求FA的长．

Answer 1

解：（1）连接OD，AD；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠BDO，
∴∠C=∠BDO；
∵DE⊥AC，
∴∠C+∠CDE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，
∴∠ODF=90°，
∴DF为⊙O的切线．

（2）∵DF²=FA•FB=AF•（AF+AB），
∴AF•（AF+6）=4×4，
∴AF=2．
分析：（1）要想证DF是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODF=90°即可．
（2）切割线定理可得DF²=FA•FB=AF•（AF+AB），从而求出FA的长．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．