Question

如图，ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，从E作EH⊥AC交AC于H．
（1）判断四边形ACED是什么图形，并加以证明；
（2）若AB=8，AD=6，求DE的长；
（3）四边形ACED中，比较AE+EC与AC+EH的大小并说明理由．

Answer 1

解：（1）四边形ACED是等腰梯形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，CD∥AB，AD∥BC，∠B=∠DAB=90°．
∴∠ACD=∠CAB．∠DAC=∠BCA，
∵△ACE与△ACB关于AC对称，
∴△ACE≌△ACB，
∴AE=AB=CD，CE=CB=AD，∠EAC=∠BAC，∠ACE=∠ACB，∠AEC=∠B=90°，
∴∠ACD=∠EAC．∠ACE=∠DAC，
∴∠ACE-∠ACD=∠DAC-∠EAC，
∴∠ECD=∠DAE．
在△ECD和△DAE中，
，
∴△ECD≌△DAE，
∴∠CDE=∠AED．
∵∠CDE+∠ADE=∠EAC+∠DCA，
∴2∠CDE=2∠ACD，
∴∠CDE=∠ACD，
∴DE∥AC，
∵AD=CE，
∴四边形ACED是等腰梯形．
（2）作DQ⊥AC于Q，DQ=
∴∠DQH=∠DQA=90°．
∵EH⊥AC，
∴∠EHC=∠EHA=90°．
∵DE∥AC，
∴∠EDQ=∠AQD=90°，
∴∠EDQ=∠DQH=∠EHQ=90°，
∴四边形DQHE是矩形．
∴DE=QH，DQ=EH．
在Rt△AQD和Rt△CHE中，
，
∴Rt△AQD≌Rt△CHE（HL）．
∴AQ=CH．
∵AB=8，AD=6，
∴由勾股定理，得
AC=10．
∴，
∴EH=4.8．
在Rt△CEH中，由勾股定理，得
∴CH=3.6
∴DE=10-3.6-3.6=2.8．
（3）∵
∴△AEC∽△AHE，
∴，
∴AE•EC=AC•EH，
∴AE=．
∴（AE+EC）-（AC+EH）
=AE+CE-AC-EH，
=（AE+EC）-（AC+EH）=+CE-AC-EH，
=，
=．
∵EC＞EH，AC＞EC，EC＞0，
∴EC-EH＞0，EC-AC＜0，
∴＜0，
∴（AE+EC）-（AC+EH）＜0，
∴AE+EC＜AC+EH．
分析：（1）根据矩形的性质和轴对称的性质可以得出AD=BC=CE，AE=AB=CD，就可以得出△ADC≌△CEA，和△ADE≌△CED得出DE∥AC，而得出四边形ACED是等腰梯形；
（2）作DQ⊥AC于Q，就可以得出四边形DQHE是矩形，可得AQ=CH，由勾股定理求出CH的值就可以得出结论；
（3）由他就可以得出△AEC∽△AHE，就有，运用求差法就可以求出结论．
点评：本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，等腰梯形的判定及性质的运用，求差法比较大小的运用，解答时灵活运用轴对称的性质求解是关键．