Question

如图，ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线AC折叠．点B落在E处，连接DE．四边形ACED是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？

Answer 1

分析：作DF⊥AC于F，EH⊥AC于H，根据矩形的性质得到AD=BC=3cm，DC∥AB，则∠3=∠5，AC=5cm，利用等积法科计算出DF=

12

5

cm；再根据折叠的性质得到BC=CE，AB=AE，∠4=∠5，于是有∠3=∠4，AD=EC，AE=DC，易证得△ADC≌△CEA，则DE∥AC，且AD不平行EC，可判断四边形ACED是等腰梯形；利用勾股定理计算出AF，然后分别可求出等腰梯形的面积和周长．

解答：解：作DF⊥AC于F，EH⊥AC于H，如图，
∵四边形ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，
∴AD=BC=3cm，DC∥AB，
∴∠3=∠5，AC=

AB2+BC2

=

42+32

=5cm，
而S_△ADC=

1

2

DF•AC=

1

2

AD•DC，
∴DF=

12

5

cm，
又∵把矩形沿直线AC折叠．点B落在E处，
∴BC=CE，AB=AE，∠4=∠5，
∴∠3=∠4，AD=EC，AE=DC，
在Rt△ADC与Rt△CEA中，

AC=CA AD=CE

∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴DF=EH，
又∵DF∥EH，
∴四边形DFHE是平行四边形，
∴DE∥AC，且AD不平行EC，
∴四边形ACED是等腰梯形；
在Rt△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

9

5

，
∴FH=AC-AF-CH=5-2×

9

5

=

7

5

，
∴DE=

7

5

，
∴四边形ACED的面积=

1

2

（

7

5

+5）•

12

5

=

192

25

（cm²）；
四边形ACED的周长=3+3+5+

7

5

=

62

5

（cm）．
∴它的面积是

192

25

cm²；周长是

62

5

cm．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质以及等腰梯形的判定．