Question

如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判断ABC的形状：______________；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

 

Answer 1

解：（1）等边三角形．

（2）PA+PB=PC．  

证明：如图1，在PC上截取PD=PA，连接AD．

∵∠APC=60°，

∴△PAD是等边三角形．

∴PA=AD，∠PAD=60°．

又∵∠BAC=60°，

∴∠PAB=∠DAC．

∵AB=AC，

∴△PAB≌△DAC．

∴PB=DC．

∵PD+DC=PC，

∴PA+PB=PC．

（3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大．

理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，

过点C作CF⊥AB，垂足为F，

∵， ．

∴S_{四边形APBC}= ．

∵当点P为_弧AB的中点时，PE+CF =PC， PC为⊙O直径，

∴四边形APBC面积最大．

又∵⊙O的半径为1，

∴其内接正三角形的边长AB= ．

∴S_{四边形APBC}= =．