Question

【题目】已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA=BC=4，DA=DC=6，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析；（3）

【解析】分析：（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；

（2）当∠B+∠EGC=180°时，成立，证△DFG∽△DEA，得出，证△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案；

（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程（x-4）2+（）2=42，求出CN=，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°.

∴∠ADE+∠CDE=90°.

∵DE⊥CF，∴∠DCF+∠CDE=90°.

∴∠ADE＝∠DCF.

∴△ADE∽△DCF，∴．

（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立．

证明如下：在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．

∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠A＝∠CDM. ，∠CFM＝∠FCB．

∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠FCB+∠BEG＝180°．

∵∠AED+∠BEG＝180°，∴∠AED＝∠FCB．

∴∠CMF＝∠AED．

∴△ADE∽△DCM．

∴．即．

（3）．

过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，

∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，

∴∠A=∠M=∠CNA=90°，

∴四边形AMCN是矩形，

∴AM=CN，AN=CM，

∵在△BAD和△BCD中，

∴△BAD△BCD（SSS），

∴∠BCD=∠A=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠MBC=∠ADC，

∵∠CND=∠M=90°，

∴△BCM∽△DCN，

∴，

∴，

∴CM=，

在Rt△CMB中，CM=，BM=AM-AB=x-4，由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，

∴（x-4）2+（）2=42，

x=0（舍去），x=，

CN=，

∵∠A=∠FGD=90°，

∴∠AED+∠AFG=180°，

∵∠AFG+∠NFC=180°，

∴∠AED=∠CFN，

∵∠A=∠CNF=90°，

∴△AED∽△NFC，

∴．