Question

18、△ABC内接于⊙O，
（1）如图1，AB是直径，∠CAE=∠B，试说明AE是⊙O的切线，
（2）如图2，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，AE还是⊙O的切线吗？为什么？

Answer 1

分析：（1）因为直线DE经过圆上A点，所以欲证AE是切线，只需证明DE⊥AB，即证∠EAB=90°即可．根据直径所对的圆周角是直角代换后可证；
（2）连接AO并延长交圆与点F，连接FC，构造（1）的图形，运用相同思路可证是切线．

解答：
（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠CAB=90°．
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠CAB=90°，即∠EAB=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）AE还是切线．
连接AO并延长交圆与点F，连接FC．
∵∠B=∠F，∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠F．
根据（1）的证明可知，AE是⊙O的切线．

点评：此题考查切线的判定及圆周角定理等知识点，难度中等．