Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2－4ax＋b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB＝OC＝3.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，D为抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP交直线BC于G，连GD．是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N．若∠MON＝45°，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－4x＋3 ；(2) P();(3)

【解析】分析：(1)把,,代入,解方程组即可.
(2)如图1中,连接OD、BD,对称轴交x轴于K,将绕点O逆时针旋转90°得到△OCG,则点G在线段BC上,只要证明是等腰直角三角形,即可得到直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.利用方程组即可解决问题. (3)如图2中,将绕点O顺时针旋转得到,首先证明,设,,则,
设平移后的抛物线的解析式为,由消去y得到,由,推出,,M、N关于直线对称,所以,设,则,利用勾股定理求出a以及MN的长,再根据根与系数关系,列出方程即可解决问题.

本题解析：

(1),,,代入,
得,解得,
∴抛物线的解析式为

(2)如图1中,连接OD、BD,对称轴交x轴于K.

由题意,,,,
,,
,
将绕点O逆时针旋转90°得到,则点G在线段BC上,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P.
设直线OD的解析式为,把D点坐标代入得到,/span>,
,
∴直线OD的解析式为,
,
∴直线OG的解析式为,
由解得或,
点P在对称轴左侧,
点P坐标为

(3)如图2中,将绕点O顺时针旋转90°得到

,
,
,,,
,
,
,
,
,
设,,则,
设平移后的抛物线的解析式为,
由消去y得到,

,,
∴M、N关于直线对称,
,设,则,
,
(负根已经舍弃),
,
,