Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4，cos∠ACH=，点B的坐标为(4,n)．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△BCH的面积．

（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），y=-2x+4；（2）8；（3）x<-2或0<x<4.

【解析】分析：（1）首先利用锐角三角函数关系得出HC的长，再利用勾股定理得出AH的长，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B点坐标，即可得出一次函数解析式；
（2）利用B点坐标的纵坐标再利用HC的长即可得出△BCH的面积．

（3）观察图像可知，在A点左方时：一次函数在反比例函数上方；在B点左方，y轴右方时：一次函数在反比例函数上方，由（1）知点A、点B、的横坐标即可求解.

详解：（1）∵AH⊥x轴于点H，AC=4，cos∠ACH=，
∴，
解得：HC=4，
∵点O是线段CH的中点，
∴HO=CO=2，
∴AH==8，
∴A（-2，8），
∴反比例函数解析式为：，
∴B（4，-4），
∴设一次函数解析式为：y=kx+b，
则，

解得.
∴一次函数解析式为：y=-2x+4；

（2）由（1）知：HC=4，B（4，-4）,所以△BCH的面积为：×4×4=8．

（3）由（1）知：A（-2，8），B（4，-4）.当时，一次函数在反比例函数上方，所以一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围：.