Question

已知0°＜θ＜90°，且关于x的方程x²-2xtanθ-3=0的两个根的平方和等于10，则以tanθ，

1

sinθ

为根的一元二次方程为

 

．

Answer 1

分析：首先利用根与系数的关系可以求出θ的度数，然后求出其它三角函数的值，再利用根与系数的关系即可求出方程形式．

解答：解：设x₁，x₂为关于x的方程x²-2xtanθ-3=0的两个根，
∴x₁+x₂=2tanθ，x₁•x₂=-3．
又∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10，
∴4tan²θ+6=10，
∴tanθ=±1．
∵0°＜θ＜90°，
∴tanθ＞0，
∴tanθ=1，
∴θ=45度．
当θ=45°时，△=4tan²θ+12＞0，
∴tanθ+

1

sinθ

=1+

2

，
tanθ•

1

sinθ

=

2

．
∴以tanθ，

1

sinθ

为根的一元二次方程为y²-（1+

2

）y+

2

=0．
故填空答案：y²-（1+

2

）y+

2

=0．

点评：本题解题关键：
1、一元二次方程的根与系数的关系x₁+x₂=-

b

a

、x₁•x₂=

c

a

来化简（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10；
2、特殊角的三角函数值要熟练．