题目内容

已知：如图，在直角坐标系xoy中，以x轴的负半轴上一点H为圆心作⊙O与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点．以C为圆心、OC为半径作⊙C与⊙H交于F、F两点，与y轴交于O、Q两点．直线EF与AC、BC、y轴分别于M、N、G三点．直线 $数学公式$ 经过A、C两点．
（1）求tan∠CNM的值；
（2）连接OM、ON，问：四边形CMON是怎样的四边形？请说明理由．
（3）如图，R是⊙C中弧EQ上的一动点（不与E点重合），过R作⊙C的切线RT，若RT与⊙H相交于S、T不同两点．问：CS•CT的值是否发生变化？若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

解：（1）连接CH，
则CH⊥EF，即∠CNM+∠HCB=90°．
而∠HCB=∠CBA，即∠CNM+∠CBA=90°．
又∵∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠CNM=∠CAB．
由y= $\text{[math]}$ x+3过A、C，则OC=3，AO=4，
即tan∠CNM=tan∠CAB= $\text{[math]}$ ；

（2）由GD•GC=GE•GF，GO•GQ=GE•GF，得GO•GQ=GD•GC，
即GO（GC+CQ）=（GO+OD）•GC，则GO=GC．
又∠CMG=∠CBA=∠ACO，
即GC=GM，则GO=GC=GM=GN，
故四边形OMCN是矩形；

（3）连接CR，过C作⊙H的直径CL，连接SL．
易证△CLS∽△CTR，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则CS•CT=CL•CR=AB•OC=（4+ $\text{[math]}$ ）×3= $\text{[math]}$ ．
故CS•CT的值不变为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接CH，则CH⊥EF，即∠CNM+∠HCB=90°．再根据题意得出∠CNM=∠CAB．由y= $\text{[math]}$ x+3过A、C，从而得出tan∠CNM的值．
（2）由GD•GC=GE•GF，GO•GQ=GE•GF，得GO•GQ=GD•GC，则GO=GC．还可证得GC=GM，则GO=GC=GM=GN，从而得出四边形OMCN是矩形．
（3）连接CR，过C作⊙H的直径CL，连接SL．易证△CLS∽△CTR，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而得出CS•CT的值不变，是定值．
点评：本题是一道综合题，考查了相交两圆的性质、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，是中考压轴题，难度较大．注：（1）利用了等角代换来求三角函数的值，这是在圆中常碰到的事．
（2）充分运用几何图形的性质模索出MN与OC相等且互相平分，从而正确地判断图形．
（3）通过相似三角形，硬性求出CS•CT的值，这是处理这类问题的又一方法．