题目内容

（12分）如图⑴所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规。我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

⑴观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

⑵请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；

②如图(3)，DC平分∠ADB, EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；

③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，，若∠BDC=1400，∠BG1C=77°，求∠A的度数。

 

【答案】

（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C（2）40°，∠DCE=90°，∠A为70°

【解析】

试题分析：解：（1）连接AD并延长至点F，

由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD；且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD；

相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

又因为∠A=50°，∠BXC=90°，所以∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°；

②由（1）的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB=80°；而∠DCE=

（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°，易得∠DCE=90°；

③∠BG1C═（∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1C=77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=140°-x°

∴（140-x）+x=77，14-x+x=77，x=70∴∠A为70°．

考点：三角形外角性质，三角形内角和定理

点评：本题难度较大。需要学生用已学的知识点进行探究规律与归纳计算。在做这类题型时，通常第一二问较容易求证，而第三问要结合前面2个证明总结出规律来进行计算。

 

练习册系列答案
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（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=
 
°；
②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度数．
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(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=__________°；

②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，则∠DCE= __________°； 

③如图(4)，∠ABD、∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG5C=105°，求∠A的度数．

 
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(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，则∠DCE= __________°； 

③如图(4)，∠ABD、∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG5C=105°，求∠A的度数．

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①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，则∠DCE= __________°； 

③如图(4)，∠ABD、∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=140°，∠BG5C=105°，求∠A的度数．

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