题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线y=| 1 |
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（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式；
（2）设点P的横坐标为m：
①用含有m的式子表示线段PC的长，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标；
②若线段BC=DC，求m的值．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）在y=
x+1中，当y=0时，x=-2；当y=3时，x=4，依此可得A与B的坐标；将A与B坐标代入抛物线解析式求出c与b的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）①设直线AB与y轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；
②若BC=DC，则△DCP面积与△BCP面积之比为1：1列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
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（2）①设直线AB与y轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；
②若BC=DC，则△DCP面积与△BCP面积之比为1：1列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
解答：解：（1）在y=
x+1中，当y=0时，x=-2；当y=3时，x=4．
则A（-2，0）、B（4，3），
将A、B分别代入y=x2+bx+c中，得
，
解得b=-
，c=-7
∴所求解析式为y=x2-
x-7．
（2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），
∴∠ACP=∠AEO，
∴PD=PCsin∠ACP=
PC．
设P（m，m2-
m-7），则C（m，
m+1），
∴PC=（
m+1）-（m2-
m-7）=-m2+2m+8．
∴PD=
（-m2+2m+8）=-
（m-1）2+
．
∴PD的最大值为
，
则P点坐标为（1，-
）．
②过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，
∵sin∠ACP=
，
∴cos∠ACP=
，
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=
×（-m2+2m+8）=-
（m2-2m-8），
又∵BG=4-m，BC=DC，
∴S△DCP=S△BCP
即
DF•CP=
BG•CP
∴-
（m2-2m-8）=4-m
解得：m=4或m=
-2．
故当m=4或m=
-2时，线段BC=DC．
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则A（-2，0）、B（4，3），
将A、B分别代入y=x2+bx+c中，得
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解得b=-
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∴所求解析式为y=x2-
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（2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），
∴∠ACP=∠AEO，
∴PD=PCsin∠ACP=
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设P（m，m2-
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∴PC=（
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∴PD=
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∴PD的最大值为
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则P点坐标为（1，-
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②过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，
∵sin∠ACP=
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∴cos∠ACP=
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在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=
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又∵BG=4-m，BC=DC，
∴S△DCP=S△BCP
即
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∴-
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解得：m=4或m=
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故当m=4或m=
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点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积求法．
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