Question

如图，⊙O是以∠ACB为直角的△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．
（1）填空：当

 

时，EF∥AB（填上符合题目要求的一个条件即可）；
（2）当EF∥AB时，设⊙O的半径r=1，DE、AC的延长线相交于点G，求GF的长．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理得CE=CF，则∠CFE=∠CEF．若要使EF∥AB，则∠A=∠CFE，∠B=∠CEF．即可得到一个条件，即三角形ABC是等腰三角形即可；
（2）根据直角三角形的内切圆的半径和（1）中探索的条件可以求得CF，EF，AD，AC的长，再根据平行线分线段成比例定理即可求解．

解答：解：（1）∵CE=CF，
∴∠CFE=∠CEF，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠CFE，∠B=∠CEF．
∴∠A=∠B，
即AC=BC时，EF∥AB；

（2）由（1）可知，
CE=CF=1，EF=

2

．
∴AC=BC=2+

2

，AB=2

2

+2，
则AD=

2

+1．
∵EF∥AB，
∴△GEF∽△GDA，
∴

GF

AG

=

EF

AD

，
即

GF

2 +1+GF

=

2

2 +1

，
GF=2+

2

．

点评：此题综合运用了切线长定理、等腰直角三角形的性质以及平行线分线段成比例定理．注意：直角三角形其内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．