Question

如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax²+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，
∴，
解得a=，b=，
∴抛物线解析式为y=x²+x．
（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，
∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，），
∵点M在抛物线上，∴M（t，t²+t）．
如图①，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=y_A﹣y_M=2﹣（t²+t）=t²﹣t+2，
BH=PN=．
当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴t²﹣t+2=，化简得3t²﹣8t+4=0，
解得t₁=2（不合题意，舍去），t₂=，
∴点P的坐标为（，）
∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．
（3）如图②，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．
求得过A、C的直线为yAC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，
则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，
可得QT=，∴点Q的坐标为（a，）．
解法一：设AB与OC相交于点J，
∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，
∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），
A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．
S_{四边形RKTQ}=S_△A′KT﹣S_△A′RQ=KT?A′T﹣A′Q?HT
=（3﹣a）﹣（3﹣a）（﹣a+2）
=a²+a﹣=（a﹣）²+由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），
能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，
得  ①由△RKH∽△A′O′B′，得   ②
由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH  
③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=    ④
由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，
所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）
S_{四边形RKTQ}=S_△QOT﹣S_△ROK=OT?QT﹣OK?RH=a?a﹣（1+a﹣）（a﹣1）
=a²+a﹣=（a﹣）²+由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），
能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．
解法三：∵AB=2，OB=1，
∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
∴KT=A′T?tan∠O′A′B′=（﹣a+3）=a+，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，
过点R作RH⊥x轴于H，
∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，
∴RH=2KH
又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，
∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，
∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），
∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S_{四边形RKTQ}=S_△A′KT﹣S_△A′RQ=KT?A′T﹣A′Q（xQ﹣xR）=（3﹣a）﹣（3﹣a）（﹣a+2）
=a²+a﹣=（a﹣）²+由于＜0，
∴在线段AC上存在点A′（，），
能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．

                  ①                                                       ②