Question

如图，直径AE平分弦CD，交CD于点G，EF∥CD，交AD的延长线于F，AP⊥AC交CD的延长线于点P．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=2，PD=

1

2

CD，求tan∠P的值．

Answer 1

分析：（1）欲证明EF是⊙O的切线，只需证明∠AEF=90°即可；
（2）利用相似三角形的判定定理AA证得△CAG∽△CPA，然后由相似三角形的对应边成比例知AC²=CG•CP，从而求得CP²=12；再在直角三角形APC中利用勾股定理求得AP的长度；最后由直角三角形中的锐角三角函数的定义求得tan∠P的值．

解答：（1）证明：∵直径AE平分弦CD，
∴AG⊥CD（垂径定理）．（3分）
∵EF∥CD（已知），
∴∠AEF=∠AGD=90°．
∴EF是⊙O的切线．（6分）

（2）∵∠CAP=∠AGC=90°，∠ACG=∠PCA．
∴△CAG∽△CPA（AA）．
∴AC²=CG•CP（相似三角形的对应边成比例）．（9分）
又∵PD=

1

2

CD（已知），
CG=GD，
∴CG=

1

3

PC．而AC=2，
∴2²=

1

3

PC•PC，∴PC²=12．（11分）
又∵AC⊥AP，∴AP²=PC²-AC²（勾股定理），
∴AP=2

2

．（13分）
∴tan∠P=

AC

AP

=

2

2 2

=

2

2

．（15分）

点评：本题考查了相似三角形的判定定理、切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．